Cara o Cruz: las probabilidades reales en 10 000 lanzamientos

En abril de 1940, el ejército alemán invadió Dinamarca. Un matemático sudafricano, John Edmund Kerrich, estaba de visita en casa de sus suegros en Copenhague — fue arrestado como súbdito británico e internado hasta el final de la guerra en el campo de Hald, en Jutlandia. Para pasar el tiempo, Kerrich decidió llevar a cabo un experimento que ninguno de sus colegas universitarios había tenido nunca la paciencia de realizar: lanzó una moneda. Otra vez. Y otra vez. Diez mil veces exactamente, a mano, anotando cada resultado. Cuando hizo el balance, había obtenido 5 067 caras sobre 10 000. Ni 5 000 justos, ni una desviación enorme — solo 5 067. Ese dato, publicado en su libro An Experimental Introduction to the Theory of Probability en 1946, sigue siendo una de las verificaciones experimentales más citadas de la ley de los grandes números.

Este artículo propone prolongar el experimento de Kerrich con las herramientas de hoy. ¿Qué ocurre realmente cuando lanzas una moneda 10 000 veces? La imagen mental espontánea — cara-cruz-cara-cruz en alternancia ordenada, en torno a un 50/50 limpio — es casi siempre falsa. La realidad es más instructiva: la probabilidad de un lanzamiento sigue siendo del 50 %, pero lo que aparece en pantalla se organiza según reglas que nuestra intuición no espera. Aquí están esas reglas, en cifras.

Lo que la intuición predice y lo que pasa de verdad

Pregunta a alguien cuántas caras espera obtener en 10 000 lanzamientos de una moneda equilibrada. La respuesta espontánea es casi siempre: ‘unas 5 000’. El ‘unas’ es la parte interesante.

Para una serie de tiradas independientes con dos resultados — lo que se llama una distribución binomial —, la incertidumbre alrededor de la media se mide con una fórmula simple: la desviación típica, que vale la raíz cuadrada del número de lanzamientos multiplicado por la probabilidad de cada cara y su complemento. Para 10 000 lanzamientos al 50/50, el cálculo da √(10 000 × 0,5 × 0,5) = 50 lanzamientos.

Concretamente: aproximadamente dos veces de cada tres, tu recuento final caerá entre 4 950 y 5 050 caras. Unas diecinueve veces de cada veinte, caerá entre 4 900 y 5 100. Y la probabilidad de aterrizar exactamente en 5 000 caras es del 0,8 % — es estadísticamente uno de los resultados menos frecuentes, justo el que todo el mundo espera obtener. Kerrich, con sus 5 067 caras, está a 1,34 desviaciones típicas por encima de la media: un resultado perfectamente banal, entre los más probables.

La intuición comete dos errores a la vez: olvida que es casi imposible aterrizar exactamente sobre la media, y subestima la desviación esperada. En 10 000 lanzamientos, fluctuar entre 50 u 80 caras no es señal de moneda trucada — es exactamente lo que produce una moneda honesta.

Las rachas sorprendentes: por qué 13 caras seguidas no tienen nada de excepcional

Aquí va una pregunta que rara vez se hace antes de jugar y cuya respuesta cambia la percepción del azar. En 10 000 lanzamientos, ¿cuál es la racha ininterrumpida más larga de la misma cara?

La respuesta teórica se calcula con la fórmula log₂(N), el logaritmo en base 2 del número de tiradas. Para 10 000 lanzamientos, log₂(10 000) ≈ 13,29. Dicho de otro modo, debes esperar observar, en algún lugar de la secuencia, una racha de unas 13 a 14 caras consecutivas — o 13 a 14 cruces consecutivas. No como un golpe de suerte ni como un evento destacable, sino como un evento normal.

Este dato choca de frente con la intuición. Siete caras seguidas ya disparan en la mayoría de observadores una sensación de anomalía, incluso de tongo. Sin embargo, en 10 000 lanzamientos, siete caras consecutivas están prácticamente garantizadas — las obtendrás varias veces. Que nuestro cerebro las perciba como sospechosas viene de un mecanismo bien identificado, que desmenuzamos en nuestro artículo sobre el sesgo del jugador: esperamos que una secuencia corta ya parezca azar ‘bien mezclado’, cuando el azar auténtico produce naturalmente racimos.

Si quieres convencerte, lanza la secuencia a gran escala en Cara o Cruz y anota la racha más larga que obtienes tras unos cientos de tiradas. Verás aparecer rachas de cinco, seis, a veces ocho caras consecutivas — sin que se haya violado ninguna regla. Es justamente lo que llamamos la mecánica del azar: no una distribución lisa, sino una distribución irregular cuya regularidad solo aparece a muy gran escala.

Probabilidad, proporción, varianza: la distinción que lo cambia todo

Si solo te quedas con una cosa de este artículo, que sea esta. Tres palabras se parecen y designan cosas distintas; confundirlas es el origen de la mayoría de las intuiciones falsas sobre el azar.

La probabilidad es lo que se aplica a un sorteo. Cuando haces clic una vez en Cara o Cruz, la probabilidad de obtener cara es del 50 %. Esa probabilidad nunca cambia, no depende de nada, no se acumula. Sigue siendo del 50 % en el primer sorteo y en el diezmilésimo.

La proporción observada es lo que se mide después de cierto número de tiradas. En 10 lanzamientos puedes obtener 7 caras; la proporción será del 70 %. En 1 000 lanzamientos estarás más cerca del 50 % — quizá del 51 %. En 100 000 lanzamientos estarás muy cerca del 50,0 %. Ese movimiento de convergencia es lo que llamamos la ley de los grandes números.

La varianza — o su prima la desviación típica — mide la incertidumbre alrededor de esa proporción en un momento dado. Y su comportamiento es la gran sorpresa: la varianza no disminuye en proporción al número de tiradas, disminuye en raíz cuadrada del número de tiradas. En 100 lanzamientos, la desviación típica es de 5 (es decir, un 5 % de desviación relativa). En 10 000 lanzamientos sube a 50 — pero en proporción cae al 0,5 %. Eso explica la paradoja central: cuanto más se lanza, mayor puede ser la desviación absoluta, y sin embargo más se acerca el resultado al 50 % en proporción.

Comprender esta triple distinción es desactivar de un golpe la mayoría de las ilusiones. ‘50 % de probabilidades’ no quiere decir ‘exactamente el 50 % de los resultados’. Esas dos frases hablan de cosas distintas.

¿Y una moneda ‘real’?

Todos los cálculos anteriores se basan en la hipótesis de una moneda perfectamente equilibrada — 50 % cara, 50 % cruz. ¿Lo es realmente una moneda física?

La respuesta, sorprendente, es: no del todo. En 2007 el matemático Persi Diaconis, profesor en Stanford y, accidentalmente, antiguo mago profesional, publicó con Susan Holmes y Richard Montgomery un artículo titulado Dynamical Bias in the Coin Toss en la revista SIAM Review. Su demostración combina modelado físico y observación a cámara lenta: una moneda lanzada a mano no gira perfectamente sobre sí misma, sufre una ligera precesión — un efecto de giroscopio que hace que la cara orientada inicialmente hacia arriba tenga aproximadamente un 51 % de probabilidades de caer en la misma orientación. Un estudio empírico publicado en 2023 sobre más de 350 000 lanzamientos manuales confirmó ese sesgo con una precisión sorprendente: 50,78 % de caídas del mismo lado del que partió.

Para el día a día, es despreciable. Para un sitio de sorteos digital es un dato interesante: una moneda simulada por algoritmo, que no tiene orientación inicial ni ningún fenómeno físico de precesión, es en realidad más equitativa que una moneda real. Nuestro artículo sobre cómo funcionan nuestros sorteos detalla la mecánica exacta — Math.random(), distribución uniforme, ninguna memoria entre tiradas. La moneda digital de Cara o Cruz no hace trampa, y tampoco precesiona.

Verifícalo tú mismo, en 30 segundos

La ventaja del azar matemático es que es enteramente reproducible. Puedes replicar a Kerrich en casa, sin 75 años de internamiento.

Método 1 — Con Cara o Cruz. Lanza la moneda en Cara o Cruz un centenar de veces y anota los resultados. Deberías caer alrededor del 50/50, con una desviación que puede alcanzar las 10 o 12 caras en un sentido. Anota también la racha más larga observada: para 100 tiradas, espera 6 o 7 lanzamientos consecutivos de la misma cara.

Método 2 — En la consola del navegador. En cualquier página, abre la consola (tecla F12, pestaña ‘Consola’) y escribe: let p = 0; for (let i = 0; i < 10000; i++) if (Math.random() < 0.5) p++; p. En una fracción de segundo obtendrás tu número de caras sobre 10 000 lanzamientos — un Kerrich completo en menos de un parpadeo. Lanza el comando varias veces: obtendrás cada vez un número diferente, casi siempre entre 4 900 y 5 100.

Eso es todo lo que dice la ley de los grandes números: no una promesa de 5 000 exactos, sino una franja estable alrededor del 50 %, con una varianza previsible. El azar, en esta forma pura, no es ni misterioso ni hostil — sigue reglas, simplemente diferentes de las que nuestra intuición proyecta sobre él.

Para profundizar, puedes releer nuestro artículo sobre el sesgo del jugador — que explica por qué siete caras seguidas nos parecen sospechosas cuando no lo son — o levantar el capó de nuestros sorteos para ver, línea a línea, el código que produce estas probabilidades.