صورة أم كتابة: الاحتمالات الحقيقيّة على 10,000 رمية

في نيسان/أبريل 1940، اجتاح الجيش الألمانيّ الدنمارك. كان رياضيّ من جنوب إفريقيا اسمه جون إدموند كيريك يزور أهل زوجته في كوبنهاغن — اعتُقل بصفته رعيّة بريطانيّة، وأودِع حتّى نهاية الحرب في معسكر هالد في يوتلاند. لتمضية الوقت، قرّر كيريك إجراء تجربة لم يجرّبها أيّ من زملائه الجامعيّين قبله صبراً على إنجازها: رمى قطعة نقدية. ثمّ مرّة أخرى. ومرّة أخرى. عشرة آلاف مرّة بالتمام، يدوياً، مدوِّناً كلّ نتيجة. وحين أحصى، حصل على 5,067 صورة من 10,000. لا 5,000 بالضبط، ولا انحراف صادم — فقط 5,067. نُشر هذا الرقم في كتابه An Experimental Introduction to the Theory of Probability عام 1946، ويبقى من أكثر التحقّقات التجريبيّة استشهاداً بقانون الأعداد الكبيرة.

يقترح هذا المقال تمديد تجربة كيريك بأدوات اليوم. ما الذي يحدث حقّاً حين ترمي عملة 10,000 مرّة؟ الصورة الذهنيّة التلقائيّة — صورة-كتابة-صورة-كتابة بتناوب أنيق حول 50/50 نظيف — خاطئة دائماً تقريباً. الواقع أكثر إفادة: يبقى احتمال أيّ رمية واحدة 50٪، لكنّ ما يظهر على الشاشة يتنظّم وفق قواعد لا يتوقّعها حدسنا. إليك تلك القواعد، بالأرقام.

ما يتنبّأ به الحدس وما يحدث فعلاً

اسأل أحدهم كم صورة يتوقّع على 10,000 رمية لعملة متوازنة. الجواب التلقائيّ يكون دائماً تقريباً: ‘حوالى 5,000’. كلمة ‘حوالى’ هي الجزء المثير للاهتمام.

لتسلسل من تجارب مستقلّة بنتيجتَين — ما يُسمّى التوزيع ذا الحدّين — يُقاس عدم اليقين حول المتوسّط بصيغة بسيطة: الانحراف المعياريّ، الذي يساوي الجذر التربيعيّ لعدد الرميات مضروباً في احتمال كلّ وجه ومكمّله. لـ10,000 رمية بنسبة 50/50، تعطي الحسبة √(10,000 × 0.5 × 0.5) = 50 رمية.

عملياً: نحو مرّتَين من ثلاث، سيقع عدّك النهائيّ بين 4,950 و5,050 صورة. ونحو تسع عشرة مرّة من عشرين سيقع بين 4,900 و5,100. واحتمال الوصول بالضبط إلى 5,000 صورة نحو 0.8٪ — إحصائياً من أقلّ النتائج تواتراً، رغم أنّه ما يتوقّعه الجميع. كيريك، بـ5,067 صورة، يقع على بُعد 1.34 انحراف معياريّ فوق المتوسّط: نتيجة عاديّة تماماً، من بين الأكثر احتمالاً.

يرتكب الحدس خطأَين في الوقت نفسه: ينسى أنّه من شبه المستحيل الوصول إلى المتوسّط بالضبط، ويستهين بالانحراف المتوقَّع. التذبذب بـ50 أو 80 صورة على 10,000 رمية ليس علامة على عملة مزوَّرة — بل هو بالضبط ما تنتجه عملة نزيهة.

السلاسل المفاجئة: لماذا 13 صورة متتالية ليست استثنائيّة

إليك سؤالاً يندر طرحه قبل اللعب، وجوابه يغيّر تصوّرنا للصدفة. ما أطول تتابع غير منقطع للوجه نفسه على 10,000 رمية؟

تُحسب الإجابة النظريّة بصيغة log₂(N)، اللوغاريتم الثنائيّ لعدد التجارب. لـ10,000 رمية، log₂(10,000) ≈ 13.29. أي ينبغي أن تتوقّع رؤية، في مكان ما من التتابع، سلسلة من 13 إلى 14 صورة متتالية — أو 13 إلى 14 كتابة متتالية. لا كضربة حظّ ولا حدثاً لافتاً، بل حدثاً عادياً.

هذا الرقم يصطدم وجهاً لوجه بالحدس. سبع صور متتالية تثير عند معظم المراقبين شعوراً بالشذوذ، بل بالتلاعب. ومع ذلك، على 10,000 رمية، سبع صور متتالية مضمونة عملياً — ستحصل عليها مرّات عدّة. أنّ دماغنا يقرأها على أنّها مريبة يعود إلى آليّة محدّدة جيداً نفكّكها في مقالنا حول مغالطة المقامر: ننتظر من تتابع قصير أن يبدو منذ الآن صدفةً ‘مخلوطة جيداً’، فيما تنتج الصدفة الحقيقيّة طبيعياً عناقيد.

إن أردت أن تقتنع، شغّل التتابع على نطاق واسع على صورة أم كتابة ودوّن أطول سلسلة تحصل عليها بعد بضع مئات من الرميات. سترى تظهر سلاسل من خمسة وستّة وأحياناً ثمانية أوجه متتالية — دون انتهاك أيّ قاعدة. هذا بالضبط ما نسمّيه ميكانيكا الصدفة: ليس توزيعاً ناعماً، بل توزيعاً غير منتظم لا تظهر انتظامه إلّا على نطاق واسع جداً.

احتمال، نسبة، تباين: التمييز الذي يغيّر كلّ شيء

إن لم تحتفظ من هذا المقال إلّا بشيء واحد، فليكن هذا. ثلاث كلمات تتشابه وتسمّي أشياء مختلفة؛ والخلط بينها أصل أغلب الحدوس الخاطئة عن الصدفة.

الاحتمال ما ينطبق على تجربة واحدة. حين تنقر مرّة على صورة أم كتابة، فإنّ احتمال الحصول على صورة هو 50٪. هذا الاحتمال لا يتغيّر أبداً، لا يعتمد على شيء، ولا يتراكم. يبقى 50٪ في الرمية الأولى وفي العشر-آلاف.

النسبة الملاحظة ما نقيسه بعد عدد معيّن من التجارب. على 10 رميات قد تحصل على 7 صور؛ النسبة 70٪. على 1,000 رمية ستكون أقرب إلى 50٪ — ربّما 51٪. على 100,000 رمية ستكون قريباً جداً من 50.0٪. هذه الحركة التقاربيّة هي ما نسمّيه قانون الأعداد الكبيرة.

التباين — أو ابن عمّه الانحراف المعياريّ — يقيس عدم اليقين حول هذه النسبة في لحظة معيّنة. وسلوكه هو المفاجأة الكبرى: لا يتقلّص التباين بنسبة عدد التجارب، بل يتقلّص بـالجذر التربيعيّ لعدد التجارب. على 100 رمية، الانحراف المعياريّ 5 (أي 5٪ انحراف نسبيّ). على 10,000 رمية يرتفع إلى 50 — لكنّه نسبياً ينخفض إلى 0.5٪. وهذا ما يفسّر التناقض المركزيّ: كلّما رمَيت أكثر، أمكن للانحراف المطلق أن يكبر، ومع ذلك تقترب النتيجة أكثر من 50٪ نسبياً.

فهم هذا التمييز الثلاثيّ يبطل دفعة واحدة معظم الأوهام. ‘50٪ احتمالاً’ لا يعني ‘بالضبط 50٪ من النتائج’. هاتان العبارتان تتحدّثان عن أمرَين مختلفَين.

وعملة ‘حقيقيّة’؟

تستند جميع الحسابات السابقة إلى افتراض عملة متوازنة تماماً — 50٪ صورة، 50٪ كتابة. هل عملة فيزيائيّة حقيقيّة كذلك فعلاً؟

الجواب المفاجئ: ليس تماماً. عام 2007 نشر الرياضيّ بيرسي دياكونيس، أستاذ في ستانفورد وساحر محترف سابق بالمناسبة، مع سوزان هولمز وريتشارد مونتغومري ورقة بعنوان Dynamical Bias in the Coin Toss في مجلّة SIAM Review. يجمع برهانهم النمذجة الفيزيائيّة والمراقبة بالحركة البطيئة: العملة المُرماة باليد لا تدور بكمال على محورها، بل تتعرّض لـمبادرة خفيفة (precession) — تأثير شبيه بالجيروسكوب يجعل احتمال هبوط الوجه المتّجه ابتدائياً إلى أعلى بالاتّجاه نفسه نحو 51٪. أكّدت دراسة تجريبيّة صدرت عام 2023 على أكثر من 350,000 رمية يدويّة هذا الانحياز بدقّة لافتة: 50.78٪ من الهبوط على الجانب نفسه الذي بدأت منه.

في الحياة اليوميّة هذا مهمل. لموقع سحب رقميّ هذه نقطة مهمّة: عملة محاكاة بخوارزميّة، لا توجّه ابتدائيّاً لها ولا ظاهرة فيزيائيّة من المبادرة، هي في الواقع أكثر إنصافاً من عملة حقيقيّة. مقالنا حول كيفيّة عمل سحوباتنا يفصّل الميكانيكا بالضبط — Math.random()، توزيع منتظم، لا ذاكرة بين السحوبات. عملة صورة أم كتابة الرقميّة لا تغشّ ولا تتعرّض للمبادرة.

تحقّق بنفسك في 30 ثانية

ميزة الصدفة الرياضيّة أنّها قابلة للنسخ بالكامل. يمكنك إعادة كيريك في بيتك، دون 75 سنة من الاعتقال.

الطريقة 1 — مع صورة أم كتابة. ارمِ العملة على صورة أم كتابة نحو مئة مرّة ودوّن النتائج. ينبغي أن تستقرّ حول 50/50، بفجوة قد تبلغ 10 أو 12 صورة في اتّجاه واحد. دوّن أيضاً أطول سلسلة ملحوظة: لـ100 رمية، توقّع 6 أو 7 رميات متتالية للوجه نفسه.

الطريقة 2 — في وحدة تحكّم المتصفّح. افتح في أيّ صفحة وحدة التحكّم (مفتاح F12، تبويب ‘Console’) واكتب: let p = 0; for (let i = 0; i < 10000; i++) if (Math.random() < 0.5) p++; p. في جزء من الثانية ستحصل على عدد الصور لديك على 10,000 رمية — كيريك كامل في أقلّ من رمشة عين. شغّل الأمر مرّات عدّة: ستحصل في كلّ مرّة على رقم مختلف، دائماً تقريباً بين 4,900 و5,100.

هذا كلّ ما يقوله قانون الأعداد الكبيرة: ليس وعداً بـ5,000 بالضبط، بل شريطاً مستقرّاً حول 50٪ مع تباين قابل للتنبّؤ. الصدفة، بهذا الشكل النقيّ، ليست غامضة ولا عدائيّة — تتبع قواعد، فحسب مختلفة عن تلك التي يُسقطها حدسنا عليها.

للتعمّق، يمكنك إعادة قراءة مقالنا حول مغالطة المقامر — الذي يفسّر لماذا تبدو سبع صور متتالية مريبة وهي ليست كذلك — أو فتح غطاء سحوباتنا لرؤية، سطراً سطراً، الكود الذي يُنتج هذه الاحتمالات.