Cara ou Coroa: as probabilidades reais em 10 000 lançamentos

Em abril de 1940, o exército alemão invadiu a Dinamarca. Um matemático sul-africano, John Edmund Kerrich, estava em visita à família dos sogros em Copenhague — foi preso como súdito britânico e internado até o fim da guerra no campo de Hald, na Jutlândia. Para passar o tempo, Kerrich decidiu conduzir um experimento que nenhum de seus colegas universitários jamais teve a paciência de realizar: ele lançou uma moeda. De novo. E de novo. Dez mil vezes exatamente, à mão, anotando cada resultado. Quando fez o balanço, tinha obtido 5 067 caras em 10 000. Nem 5 000 redondos, nem um desvio aberrante — apenas 5 067. Esse dado, publicado em seu livro An Experimental Introduction to the Theory of Probability em 1946, continua sendo uma das verificações experimentais mais citadas da lei dos grandes números.

Este artigo propõe prolongar o experimento de Kerrich com as ferramentas de hoje. O que acontece de verdade quando você lança uma moeda 10 000 vezes? A imagem mental espontânea — cara-coroa-cara-coroa em alternância arrumadinha, em torno de um 50/50 limpo — quase sempre está errada. A realidade é mais instrutiva: a probabilidade de um lançamento continua sendo de 50 %, mas o que aparece na tela se organiza segundo regras que nossa intuição não espera. Aqui estão essas regras, em números.

O que a intuição prevê e o que acontece de verdade

Pergunte a alguém quantas caras espera obter em 10 000 lançamentos de uma moeda equilibrada. A resposta espontânea quase sempre é: ‘umas 5 000’. O ‘umas’ é a parte interessante.

Para uma série de tiradas independentes com dois resultados — o que se chama uma distribuição binomial —, a incerteza em torno da média se mede com uma fórmula simples: o desvio padrão, que vale a raiz quadrada do número de lançamentos multiplicado pela probabilidade de cada face e seu complemento. Para 10 000 lançamentos a 50/50, o cálculo dá √(10 000 × 0,5 × 0,5) = 50 lançamentos.

Concretamente: aproximadamente duas vezes em três, sua contagem final cairá entre 4 950 e 5 050 caras. Cerca de dezenove vezes em vinte, cairá entre 4 900 e 5 100. E a probabilidade de aterrissar exatamente em 5 000 caras é de cerca de 0,8 % — estatisticamente um dos resultados menos frequentes, justamente o que todo mundo espera obter. Kerrich, com suas 5 067 caras, está a 1,34 desvios padrão acima da média: um resultado perfeitamente banal, entre os mais prováveis.

A intuição comete dois erros ao mesmo tempo: esquece que é quase impossível cair exatamente sobre a média, e subestima o desvio esperado. Em 10 000 lançamentos, flutuar em 50 ou 80 caras não é sinal de moeda viciada — é exatamente o que produz uma moeda honesta.

As sequências surpreendentes: por que 13 caras seguidas não têm nada de excepcional

Eis uma pergunta que raramente se faz antes de jogar e cuja resposta muda a percepção do acaso. Em 10 000 lançamentos, qual é a sequência ininterrupta mais longa da mesma face?

A resposta teórica se calcula com a fórmula log₂(N), o logaritmo na base 2 do número de tiradas. Para 10 000 lançamentos, log₂(10 000) ≈ 13,29. Em outras palavras, você deve esperar observar, em algum lugar da sequência, uma sequência de cerca de 13 a 14 caras consecutivas — ou 13 a 14 coroas consecutivas. Não como um golpe de sorte ou um evento marcante, mas como um evento normal.

Esse dado bate de frente com a intuição. Sete caras seguidas já disparam na maior parte dos observadores uma sensação de anomalia, ou até de manipulação. No entanto, em 10 000 lançamentos, sete caras consecutivas estão praticamente garantidas — você as obterá várias vezes. O fato de nosso cérebro percebê-las como suspeitas vem de um mecanismo bem identificado, que destrinchamos em nosso artigo sobre o viés do apostador: esperamos que uma sequência curta já se pareça com um acaso ‘bem misturado’, quando o acaso autêntico produz naturalmente aglomerados.

Se você quiser se convencer, lance a sequência em larga escala em Cara ou Coroa e anote a sequência mais longa que obtiver depois de algumas centenas de tiradas. Verá aparecerem sequências de cinco, seis, às vezes oito faces consecutivas — sem que nenhuma regra tenha sido violada. É exatamente o que chamamos de mecânica do acaso: não uma distribuição lisa, mas uma distribuição irregular cuja regularidade só aparece em escala muito grande.

Probabilidade, proporção, variância: a distinção que muda tudo

Se você só pudesse guardar uma coisa deste artigo, que seja esta. Três palavras se parecem e designam coisas diferentes; confundi-las é a origem da maioria das intuições falsas sobre o acaso.

A probabilidade é o que se aplica a uma tirada. Quando você clica uma vez em Cara ou Coroa, a probabilidade de obter cara é de 50 %. Essa probabilidade nunca muda, não depende de nada, não se acumula. Continua sendo 50 % na primeira tirada e na décima milésima.

A proporção observada é o que se mede depois de um certo número de tiradas. Em 10 lançamentos você pode obter 7 caras; a proporção será de 70 %. Em 1 000 lançamentos você estará mais perto de 50 % — talvez 51 %. Em 100 000 lançamentos estará muito perto de 50,0 %. Esse movimento de convergência é o que chamamos de lei dos grandes números.

A variância — ou sua prima, o desvio padrão — mede a incerteza em torno dessa proporção em um dado momento. E seu comportamento é a grande surpresa: a variância não diminui em proporção ao número de tiradas, ela diminui em raiz quadrada do número de tiradas. Em 100 lançamentos, o desvio padrão é de 5 (ou seja, 5 % de desvio relativo). Em 10 000 lançamentos sobe a 50 — mas em proporção cai para 0,5 %. É o que explica o paradoxo central: quanto mais se lança, maior pode crescer o desvio absoluto, e ainda assim mais o resultado se aproxima de 50 % em proporção.

Compreender essa tripla distinção é desarmar de uma só vez a maioria das ilusões. ‘50 % de chances’ não quer dizer ‘exatamente 50 % dos resultados’. Essas duas frases falam de coisas diferentes.

E uma moeda ‘real’?

Todos os cálculos anteriores se baseiam na hipótese de uma moeda perfeitamente equilibrada — 50 % cara, 50 % coroa. Uma moeda física é realmente assim?

A resposta, surpreendente, é: não inteiramente. Em 2007 o matemático Persi Diaconis, professor em Stanford e, acessoriamente, antigo mágico profissional, publicou com Susan Holmes e Richard Montgomery um artigo intitulado Dynamical Bias in the Coin Toss na revista SIAM Review. A demonstração combina modelagem física e observação em câmera lenta: uma moeda lançada à mão não gira perfeitamente sobre si mesma, sofre uma leve precessão — um efeito de giroscópio que faz com que a face inicialmente voltada para cima tenha cerca de 51 % de chance de cair na mesma orientação. Um estudo empírico publicado em 2023 sobre mais de 350 000 lançamentos manuais confirmou esse viés com precisão impressionante: 50,78 % de quedas do mesmo lado de partida.

Para o cotidiano, é desprezível. Para um site de sorteio digital é um ponto interessante: uma moeda simulada por algoritmo, que não tem orientação inicial nem nenhum fenômeno físico de precessão, é na verdade mais equitativa que uma moeda real. Nosso artigo sobre como funcionam nossos sorteios detalha a mecânica exata — Math.random(), distribuição uniforme, nenhuma memória entre as tiradas. A moeda digital de Cara ou Coroa não trapaceia, e também não precessa.

Verifique você mesmo, em 30 segundos

A vantagem do acaso matemático é que ele é inteiramente reproduzível. Você pode replicar Kerrich em casa, sem 75 anos de internamento.

Método 1 — Com Cara ou Coroa. Lance a moeda em Cara ou Coroa cerca de cem vezes e anote os resultados. Você deve cair em torno de 50/50, com um desvio que pode chegar a 10 ou 12 caras em um sentido. Anote também a sequência mais longa observada: para 100 tiradas, espere 6 ou 7 lançamentos consecutivos da mesma face.

Método 2 — No console do navegador. Em qualquer página, abra o console (tecla F12, aba ‘Console’) e digite: let p = 0; for (let i = 0; i < 10000; i++) if (Math.random() < 0.5) p++; p. Em uma fração de segundo você obterá seu número de caras em 10 000 lançamentos — um Kerrich completo em menos de um piscar. Rode o comando várias vezes: você obterá a cada vez um número diferente, quase sempre entre 4 900 e 5 100.

É tudo o que diz a lei dos grandes números: não uma promessa de 5 000 exatos, mas uma faixa estável em torno de 50 %, com uma variância previsível. O acaso, nessa forma pura, não é nem misterioso nem hostil — segue regras, simplesmente diferentes daquelas que nossa intuição projeta sobre ele.

Para se aprofundar, você pode reler nosso artigo sobre o viés do apostador — que explica por que sete caras seguidas nos parecem suspeitas quando não são — ou abrir o capô dos nossos sorteios para ver, linha por linha, o código que produz essas probabilidades.