Kopf oder Zahl: die echten Wahrscheinlichkeiten über 10 000 Würfe

Im April 1940 fiel die deutsche Armee in Dänemark ein. Ein südafrikanischer Mathematiker, John Edmund Kerrich, war zu Besuch bei seinen Schwiegereltern in Kopenhagen — er wurde als britischer Staatsangehöriger verhaftet und bis Kriegsende im Lager Hald in Jütland interniert. Um die Zeit zu überbrücken, beschloss Kerrich, ein Experiment durchzuführen, zu dem keiner seiner Universitätskollegen je die Geduld gehabt hatte: Er warf eine Münze. Wieder. Und wieder. Genau zehntausend Mal, von Hand, jedes Ergebnis notiert. Beim Zählen hatte er 5 067 Kopf auf 10 000. Weder glatt 5 000, noch ein extremer Ausreißer — schlicht 5 067. Diese Zahl, 1946 in seinem Buch An Experimental Introduction to the Theory of Probability veröffentlicht, bleibt eine der meistzitierten experimentellen Bestätigungen des Gesetzes der großen Zahlen.

Dieser Artikel führt Kerrichs Experiment mit den Werkzeugen von heute fort. Was passiert wirklich, wenn Sie eine Münze 10 000-mal werfen? Das spontane mentale Bild — Kopf-Zahl-Kopf-Zahl in artiger Abwechslung um ein sauberes 50/50 herum — ist fast immer falsch. Die Realität ist lehrreicher: Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Wurfs bleibt 50 %, doch was auf dem Bildschirm erscheint, folgt Regeln, die unsere Intuition nicht erwartet. Hier sind diese Regeln, in Zahlen.

Was die Intuition vorhersagt und was tatsächlich passiert

Fragen Sie jemanden, wie viele Kopf-Würfe er auf 10 000 Würfen einer fairen Münze erwartet. Die spontane Antwort lautet fast immer: ‘etwa 5 000’. Das ‘etwa’ ist der interessante Teil.

Für eine Folge unabhängiger Zwei-Ergebnis-Versuche — das nennt man eine Binomialverteilung — misst man die Unsicherheit um den Mittelwert mit einer einfachen Formel: der Standardabweichung, die der Quadratwurzel aus der Anzahl Würfe mal der Wahrscheinlichkeit jeder Seite und ihrem Komplement entspricht. Für 10 000 Würfe bei 50/50 ergibt die Rechnung √(10 000 × 0,5 × 0,5) = 50 Würfe.

Konkret: Etwa zweimal von drei Malen wird Ihre Endzahl zwischen 4 950 und 5 050 Kopf liegen. Etwa neunzehnmal von zwanzig liegt sie zwischen 4 900 und 5 100. Und die Wahrscheinlichkeit, genau auf 5 000 Kopf zu landen, beträgt rund 0,8 % — statistisch eines der seltensten Ergebnisse, obwohl es das ist, das alle erwarten. Kerrich liegt mit seinen 5 067 Kopf 1,34 Standardabweichungen über dem Mittelwert: ein vollkommen banales Ergebnis, unter den wahrscheinlichsten.

Die Intuition macht zwei Fehler auf einmal: Sie vergisst, dass es fast unmöglich ist, exakt auf den Mittelwert zu treffen, und sie unterschätzt die erwartete Abweichung. Auf 10 000 Würfen um 50 oder 80 Kopf abzuweichen ist kein Zeichen einer manipulierten Münze — es ist genau das, was eine ehrliche Münze produziert.

Überraschende Serien: warum 13 Mal Kopf in Folge nichts Außergewöhnliches sind

Hier eine Frage, die selten vor dem Spielen gestellt wird und deren Antwort die Wahrnehmung des Zufalls verändert. Wie lang ist auf 10 000 Würfen die längste ununterbrochene Serie derselben Seite?

Die theoretische Antwort errechnet sich mit der Formel log₂(N), dem Logarithmus zur Basis 2 der Anzahl der Versuche. Für 10 000 Würfe ist log₂(10 000) ≈ 13,29. Mit anderen Worten: Sie sollten erwarten, irgendwo in der Sequenz eine Serie von etwa 13 bis 14 Mal Kopf in Folge zu sehen — oder 13 bis 14 Mal Zahl in Folge. Nicht als Glücksfall oder herausragendes Ereignis, sondern als normales Ereignis.

Diese Zahl prallt frontal mit der Intuition zusammen. Sieben Mal Kopf in Folge löst bei den meisten Beobachtern bereits ein Gefühl von Anomalie, ja Manipulation aus. Doch auf 10 000 Würfen sind sieben Mal Kopf in Folge praktisch garantiert — Sie werden sie mehrfach erleben. Dass unser Gehirn sie als verdächtig einstuft, geht auf einen gut beschriebenen Mechanismus zurück, den wir in unserem Artikel über den Spielerfehlschluss auseinandernehmen: Wir erwarten von einer kurzen Sequenz, dass sie schon wie ‘gut gemischter’ Zufall aussieht, während echter Zufall natürlicherweise Cluster erzeugt.

Wenn Sie sich davon überzeugen wollen, lassen Sie die Sequenz in großem Maßstab auf Kopf oder Zahl laufen und notieren Sie die längste Serie, die Sie nach einigen hundert Würfen erhalten. Sie werden Serien von fünf, sechs, manchmal acht aufeinanderfolgenden Seiten sehen — ohne dass eine Regel verletzt würde. Genau das nennen wir die Mechanik des Zufalls: keine glatte Verteilung, sondern eine unregelmäßige Verteilung, deren Regelmäßigkeit erst in sehr großem Maßstab sichtbar wird.

Wahrscheinlichkeit, Anteil, Varianz: die Unterscheidung, die alles ändert

Wenn Sie aus diesem Artikel nur eine Sache mitnehmen, sei es diese. Drei ähnlich klingende Wörter bezeichnen verschiedene Dinge; sie zu verwechseln ist die Wurzel der meisten falschen Intuitionen über den Zufall.

Die Wahrscheinlichkeit ist das, was für eine Ziehung gilt. Wenn Sie einmal auf Kopf oder Zahl klicken, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kopf 50 %. Diese Wahrscheinlichkeit ändert sich nie, hängt von nichts ab, summiert sich nicht. Sie bleibt 50 % beim ersten Wurf und beim zehntausendsten.

Der beobachtete Anteil ist das, was wir nach einer bestimmten Anzahl von Versuchen messen. Auf 10 Würfen können Sie 7 Mal Kopf bekommen; der Anteil beträgt 70 %. Auf 1 000 Würfen liegen Sie näher bei 50 % — vielleicht 51 %. Auf 100 000 Würfen liegen Sie sehr nahe an 50,0 %. Diese Konvergenzbewegung nennen wir das Gesetz der großen Zahlen.

Die Varianz — oder ihre Verwandte, die Standardabweichung — misst die Unsicherheit um diesen Anteil zu einem gegebenen Zeitpunkt. Und ihr Verhalten ist die große Überraschung: Die Varianz schrumpft nicht proportional zur Anzahl der Versuche, sondern proportional zur Quadratwurzel der Anzahl der Versuche. Auf 100 Würfen beträgt die Standardabweichung 5 (also 5 % relative Abweichung). Auf 10 000 Würfen steigt sie auf 50 — fällt aber proportional auf 0,5 %. Das erklärt das zentrale Paradoxon: Je mehr man wirft, desto größer kann die absolute Abweichung werden, und doch nähert sich das Ergebnis im Anteil immer mehr 50 % an.

Diese dreifache Unterscheidung zu verstehen entschärft auf einen Schlag die meisten Illusionen. ‘50 % Wahrscheinlichkeit’ bedeutet nicht ‘genau 50 % der Ergebnisse’. Diese beiden Sätze sprechen über verschiedene Dinge.

Und eine ‘echte’ Münze?

All die vorhergehenden Berechnungen beruhen auf der Annahme einer perfekt ausgewogenen Münze — 50 % Kopf, 50 % Zahl. Ist eine echte physische Münze das wirklich?

Die überraschende Antwort lautet: nicht ganz. 2007 veröffentlichte der Mathematiker Persi Diaconis, Professor in Stanford und nebenbei ehemaliger Berufszauberer, mit Susan Holmes und Richard Montgomery einen Aufsatz mit dem Titel Dynamical Bias in the Coin Toss in der Zeitschrift SIAM Review. Ihre Demonstration verbindet physikalische Modellierung mit Zeitlupenbeobachtung: Eine von Hand geworfene Münze rotiert nicht perfekt um sich selbst, sie erfährt eine leichte Präzession — einen Kreiseleffekt, durch den die anfangs nach oben zeigende Seite mit etwa 51 % Wahrscheinlichkeit in derselben Orientierung landet. Eine empirische Studie aus dem Jahr 2023 mit mehr als 350 000 Handwürfen bestätigte diesen Bias mit beeindruckender Präzision: 50,78 % Landungen auf derselben Seite wie der Start.

Im Alltag ist das vernachlässigbar. Für eine digitale Ziehungsseite ist es ein interessanter Punkt: Eine algorithmisch simulierte Münze, die keine Anfangsorientierung und kein physikalisches Präzessionsphänomen hat, ist tatsächlich fairer als eine echte Münze. Unser Artikel über die Funktionsweise unserer Ziehungen erläutert die genaue Mechanik — Math.random(), gleichmäßige Verteilung, kein Gedächtnis zwischen den Ziehungen. Die digitale Münze auf Kopf oder Zahl trickst nicht, und sie präzediert auch nicht.

Selbst überprüfen, in 30 Sekunden

Der Vorteil des mathematischen Zufalls ist, dass er vollständig reproduzierbar ist. Sie können Kerrich zu Hause nachstellen, ohne 75 Jahre Internierung.

Methode 1 — Mit Kopf oder Zahl. Werfen Sie die Münze auf Kopf oder Zahl etwa hundert Mal und notieren Sie die Ergebnisse. Sie sollten um 50/50 herum landen, mit einer Abweichung, die 10 oder 12 Kopf in eine Richtung erreichen kann. Notieren Sie auch die längste beobachtete Serie: Bei 100 Würfen rechnen Sie mit 6 oder 7 aufeinanderfolgenden Würfen derselben Seite.

Methode 2 — In der Browser-Konsole. Öffnen Sie auf einer beliebigen Seite die Konsole (F12-Taste, Reiter ‘Konsole’) und tippen Sie: let p = 0; for (let i = 0; i < 10000; i++) if (Math.random() < 0.5) p++; p. In Sekundenbruchteilen erhalten Sie Ihre Anzahl Kopf auf 10 000 Würfen — ein kompletter Kerrich in weniger als einem Wimpernschlag. Lassen Sie den Befehl mehrmals laufen: Sie erhalten jedes Mal eine andere Zahl, fast immer zwischen 4 900 und 5 100.

Das ist alles, was das Gesetz der großen Zahlen sagt: kein Versprechen von genau 5 000, sondern ein stabiler Korridor um 50 %, mit einer vorhersagbaren Varianz. Der Zufall ist in dieser reinen Form weder mysteriös noch feindselig — er folgt Regeln, nur eben anderen, als unsere Intuition auf ihn projiziert.

Um tiefer einzusteigen, lesen Sie unseren Artikel über den Spielerfehlschluss — der erklärt, warum sieben Mal Kopf in Folge verdächtig wirken, obwohl sie es nicht sind — oder heben Sie die Motorhaube unserer Ziehungen, um Zeile für Zeile den Code zu sehen, der diese Wahrscheinlichkeiten erzeugt.