लॉटरी: जीतने की आपकी असली संभावनाएँ (और गणना कैसे होती है)

हर बुधवार और शनिवार की शाम, एक फ्रांसीसी परिवार एक टिकट को चूम लेता है। कुछ मिनट बाद टेलीविज़न पर छह नंबर आते हैं, और 99.999995% मामलों में वह टिकट रसोई के कूड़ेदान में जा गिरता है। बाद में जो तस्वीर घूमती है—एक गुमनाम विजेता, सिर पर हुड पहने, बड़े-से चेक के साथ—वह लॉटरी की कहानी नहीं है। वह उसका अपवाद है। लॉटरी की कहानी कूड़ेदान का टिकट है, उन्नीस मिलियन में उन्नीस मिलियन एक बार।

यह लेख आपसे यह नहीं कहता कि खेलना बंद कर दें। यह बस आपको शांत मन से देखने का मौक़ा देता है कि एक लॉटरी टिकट संख्याओं में क्या मूल्य रखता है: कुल कितने संयोजन हैं, सांख्यिकीय रूप से जीतने के लिए कितने खेलने पड़ेंगे, और इन संख्याओं तथा हमारी सहज भावना के बीच की खाई पर संज्ञानात्मक विज्ञान क्या कहता है। ये परिमाण एक बार सामने रख दिए जाएँ, तो खेलना या न खेलना आपकी पसंद बनी रहती है—पर वह जानकार पसंद बन जाती है।

टिकट और उसकी चकरा देने वाली संयोजन-संख्या

Française des jeux द्वारा संचालित फ्रांसीसी लॉटरी 2008 से एक सरल यांत्रिकी पर चलती है: आप 49 में से 5 नंबर चुनते हैं, और 10 में से 1 भाग्यांक। संभावित संयोजनों की संख्या यूँ निकलती है—49 में से 5 नंबर चुनने के तरीक़ों की संख्या (इसे द्विपद गुणांक कहते हैं, जो 19,06,884 आता है) को 10 संभावित भाग्यांकों से गुणा कर दीजिए। परिणाम: 1,90,68,840 संयोजन। केवल एक पहला रैंक जीतता है।

एक वैध टिकट के साथ जैकपॉट जीतने की संभावना इसलिए 1,90,68,840 में 1 है—लगभग 0.0000052%। यह वही आँकड़ा है जिसे FDJ अपनी आधिकारिक नियम-पुस्तिका में प्रकाशित करता है, और जो हर संदर्भ-स्रोत में मिलता है—Wikipedia, और फ्रांस के सार्वजनिक वित्तीय शिक्षा संस्थान का शैक्षणिक प्रभाग शामिल है।

EuroMillions, इसका पैन-यूरोपियन बड़ा भाई, और बड़े पैमाने पर खेलता है। 50 में से 5 नंबर और 12 में से 2 तारे चुनने पड़ते हैं: 21,18,760 नंबर-संयोजन गुणा 66 तारा-संयोजन = 13,98,38,160 संयोजन। एक मौक़ा चौदह करोड़ में। परिप्रेक्ष्य के लिए: यदि महानगरीय फ्रांस का हर निवासी एक अलग टिकट खेले, हफ़्ते में दो ड्रॉ की दर से, तो दो साल से अधिक समय लगेगा जब तक संयोग से एक जीतने वाला टिकट खेला जाए।

ये आँकड़े विदेशी नहीं हैं—ये सार्वजनिक हैं, एक हाई-स्कूल छात्र भी एक रुमाल के पीछे इन्हें निकाल सकता है। विदेशी जो है वह है इन गणनाओं और टिकट चिह्नित करते हुए आपके मन में बनती छवि के बीच की दूरी।

ज़मीन पर लौटने के लिए तीन पैमाने

‘1.9 करोड़’ जैसी संख्या आसानी से बोली जाती है, पर महसूस नहीं होती। यहाँ तीन ठोस, स्रोत-सहित तुलनाएँ हैं ताकि यह परिमाण मूर्त हो सके।

समान जुड़वाँ पैदा होना। INED और फ्रांस के राष्ट्रीय प्राकृतिक इतिहास संग्रहालय के अनुसार, मोनोज़ाइगोटिक जुड़वाँ जन्मों की दर वैश्विक स्तर पर उल्लेखनीय रूप से स्थिर है: प्रति 1,000 प्रसवों में लगभग 4, यानी 250 में 1 संभावना। समान जुड़वाँ पैदा होना इसलिए एक टिकट से लॉटरी का पहला रैंक जीतने से लगभग 76,000 गुना अधिक संभावित है।

बिजली गिरना। La Météorologie पत्रिका में Météorage के डेटा पर आधारित दुर्घटना-विश्लेषण के अनुसार, महानगरीय फ्रांस में हर साल लगभग 100 लोग बिजली से प्रभावित होते हैं। जनसंख्या के अनुपात में यह वार्षिक संभावना 7 लाख में 1 के क़रीब है। एक साल में आप पर बिजली गिरने की संभावना एक टिकट से लॉटरी का पहला रैंक जीतने की तुलना में 27 गुना अधिक है।

सड़क दुर्घटना में मरना। अमेरिकी National Safety Council द्वारा गणित किया गया जीवनकाल का संचयी जोखिम (फ्रांसीसी आँकड़े उसी श्रेणी के हैं) लगभग 100 में 1 के आस-पास है। पूरे जीवन भर का जोखिम। 1.9 करोड़ में 1 से तुलना करें तो अनुपात 1,90,000 का है।

इनमें से कोई तुलना हतोत्साहित करने का दावा नहीं करती। ये बस अंशांकन-बिंदु के रूप में काम आती हैं: आपके दिमाग़ को 1,90,68,840 जैसी संख्या को संसाधित करने के लिए ठोस संदर्भ-ढाँचा चाहिए।

संभावना बनाम गणितीय प्रत्याशा: वह भेद जो सब बदल देता है

अधिकांश खिलाड़ी जीत की संभावना के सहारे सोचते हैं: ‘मेरे पास एक मौक़ा है’। किसी जुआ-उत्पाद का मूल्यांकन करने का सही औज़ार यह नहीं है। यह है गणितीय प्रत्याशा: प्रति टिकट औसत आय—प्रत्येक संभावित पुरस्कार को उसकी संभावना से गुणा करके, फिर दाँव घटाकर निकाली गई। यदि आप अनंत बार खेलें, तो प्रति टिकट आप औसतन इतना जीतते हैं।

लॉटरी खेलों के लिए, गणितीय प्रत्याशा लगभग हमेशा ऋणात्मक होती है—यही एक व्यावसायिक जुआ-उत्पाद की आर्थिक परिभाषा है। FDJ एक संकेतक प्रकाशित करता है, खिलाड़ी को वापसी दर (TRJ), जो सीधे बताता है कि दाँव का कितना हिस्सा पुरस्कार में लौटाया जाता है। लॉटरी के लिए, यह दर जनवरी 2026 में 55.35% से 54.85% हो गई। ठोस रूप से: कुल खिलाड़ियों द्वारा लगाए गए हर 100 € पर, 54.85 € पुरस्कार में लौटते हैं, और 45.15 € राज्य (कर), FDJ (परिचालन व्यय और लाभ) तथा वितरण-दुकानों के बीच बँट जाते हैं।

आपके लिए, एक व्यक्तिगत खिलाड़ी के लिए, इसका अर्थ है कि 2.20 € का टिकट लगभग 1.21 € की औसत प्रत्याशित आय रखता है। आप दीर्घावधि में हर टिकट पर औसतन 0.99 € खोते हैं। यह आँकड़ा कोई राय या आपके अगले टिकट का पूर्वानुमान नहीं है—यह उस मनोरंजन की ईमानदार क़ीमत-पट्टी है जो लॉटरी है। आप तीन दिन के सपने देखने के अधिकार के लिए प्रति टिकट लगभग 1 € अदा करते हैं, और यांत्रिकी इसी तरह डिज़ाइन की गई है ताकि औसतन यही हो।

यह वह मोड़ है। जब तक आप ‘मेरे पास मौक़ा है’ की भाषा में सोचते हैं, हर दाँव वाजिब लगता है क्योंकि मौक़ा तो है ही। जब आप ‘इस मौक़े की औसत क़ीमत मुझे क्या पड़ती है’ की भाषा में सोचने लगते हैं, सवाल बदल जाता है: क्या मैं इस मनोरंजन के लिए यह क़ीमत देने को तैयार हूँ? उत्तर ‘हाँ’ हो सकता है—यह बिल्कुल वैध अवकाश-पसंद है। पर यह एक पसंद है, कोई जीत-गणना नहीं।

इन आँकड़ों के बावजूद हम क्यों खेलते रहते हैं

अगर प्रत्याशा ऋणात्मक है और संभावना नगण्य है, तो हर साल 2.5 करोड़ फ्रांसीसी एक ड्रॉ-गेम क्यों खेलते हैं? कई संज्ञानात्मक भ्रम जुड़ जाते हैं, जिन्हें मनोविज्ञान में अच्छी तरह पहचाना जा चुका है।

उपलब्धता-भ्रम, जिसे ट्वर्स्की और कानेमन ने 1973 में औपचारिक रूप दिया, हमें किसी घटना की आवृत्ति को अधिक आँकने पर मजबूर करता है जब वह आसानी से याद आती है। आप टेलीविज़न पर विजेता की मुस्कान देखते हैं; उसी ड्रॉ के 1,90,68,839 हारने वालों को कभी नहीं देखते। मानसिक छवियाँ जीत को क़रीब महसूस कराती हैं।

नियंत्रण-भ्रम, जिसे अमेरिकी मनोवैज्ञानिक एलेन लैंगर ने 1975 के अपने आधारभूत लेख में दिखाया, हमें यह विश्वास दिलाता है कि हम पूरी तरह यादृच्छिक घटनाओं पर प्रभाव रख सकते हैं। अपने ‘भाग्यशाली’ नंबर—बच्चों की जन्मतिथि, घर का नंबर—चुनना नतीजे पर असर डालने का एहसास देता है। लैंगर के प्रयोगों ने दिखाया कि प्रतिभागी अपने चुने हुए टिकट को संयोग से दिए गए वैसे ही टिकट से चार गुना तक अधिक मूल्यवान मानते हैं। पर संभावना के लिहाज़ से आपके ‘भाग्यशाली’ अंकों और संयोजन 1, 2, 3, 4, 5 की निकलने की ठीक एक ही संभावना है: संख्या जनरेटर को 1 से 49 के बीच बीस बार चलाइए, हर बार आपको ऐसा क्रम मिलेगा जो दूसरे क्रम से कम संभावित दिखता है, जबकि कोई भी कम संभावित नहीं है।

जुआरी का भ्रम, जिस पर हमने एक पूरा लेख समर्पित किया है, यह विश्वास दिलाता है कि कोई संयोजन ‘अंततः निकलेगा ही’ या कोई नंबर ‘बकाया है’। ग़लत: हर ड्रॉ स्वतंत्र है, FDJ की मशीन को कोई पिछला ड्रॉ याद नहीं रहता।

अंत में, कानेमन और ट्वर्स्की द्वारा 1979 के Prospect Theory लेख में सिद्धांतीकृत उपयोगिता-असमरूपता यह समझाती है कि ईमानदार गणना भी क्यों इस इशारे को रोकने के लिए काफ़ी नहीं है। हर हफ़्ते 2.20 € का नुक़सान एक तुच्छ, लगभग अदृश्य ख़र्च लगता है—एक चाय, एक अख़बार। 50 लाख का काल्पनिक लाभ पूरे जीवन के बदलाव जैसा महसूस होता है। हमारा दिमाग़ इन दोनों मात्राओं को उनकी संभावना के अनुपात में नहीं तौलता; वह उन्हें कल्पना किए गए प्रभाव के अनुपात में महसूस करता है। यही ठीक वह मनोवैज्ञानिक यांत्रिकी है जो साप्ताहिक टिकट छोड़ना इतना कठिन बनाती है, तब भी जब आप आँकड़ों को पूरी तरह जानते हैं।

असहज सवाल: एक प्रतिगामी कर?

यह बहस सामाजिक विज्ञान में मौजूद है और इसका नाम लेना ज़रूरी है। कई अध्ययन—जिनमें 2020 में Sociologie des jeux d’argent पत्रिका में फ्रांसीसी टीम द्वारा INPES और OFDT के Baromètre santé सर्वेक्षणों के आधार पर प्रकाशित अध्ययन शामिल है—जुए को प्रतिगामी कराधान वाले तंत्र के रूप में वर्णित करते हैं। दाँव पर लगाई गई आय का हिस्सा कम संपन्न परिवारों में अधिक है, जबकि हर दाँव का एक तय हिस्सा कर के रूप में राज्य के पास लौटता है। ‘प्रतिगामी कर’ शब्द को कुछ शोधकर्ता तकनीकी रूप से उपयोग करते हैं; यह कोई सक्रियतावादी नारा नहीं, सांख्यिकीय तथ्य है।

यह आँकड़ा खिलाड़ियों पर कोई नैतिक ज़िम्मेदारी नहीं डालता—यह एक आर्थिक संरचना का वर्णन करता है। इसे याद दिलाना सिर्फ़ यह स्वीकार करना है कि लॉटरी एक तटस्थ मनोरंजन नहीं है: यह वह मनोरंजन है जिसकी वित्तीय यांत्रिकी सामाजिक रूप से उन्मुख है।

संयोग किसी के लिए नहीं खेलता

ये आँकड़े एक बार रख दिए जाएँ तो भी सपना संभव बना रहता है—यह उसकी आधिकारिक भूमिका है। लॉटरी सपना बेचती है, और तीन दिन की आस के लिए 2.20 € का सपना अपने आप में बुरा उत्पाद नहीं है। फँसाव टिकट नहीं है; फँसाव यह विश्वास है कि वह टिकट एक तार्किक गणना है। वह नहीं है। वह अंकित मूल्य पर अवकाश है, इससे न ज़्यादा, न कम।

आगे बढ़ने के लिए आप संयोग के सामने संज्ञानात्मक भ्रमों पर हमारा लेख पढ़ सकते हैं, या संयोग क्या है? के साथ ज़रा ऊँचाई से देख सकते हैं—एक अवधारणा की 3,000 साल लंबी सैर जो हमारे सब प्रयासों के बावजूद कभी किसी के लिए नहीं खेलती। यदि संभावना, अनुपात और प्रसरण के बीच का भेद आपको एक सरल पैमाने पर—1.9 करोड़ संयोजनों के बजाय एक सिक्का—रुचिकर लगता है, तो चित या पट की असली संभावनाओं पर हमारा लेख इन अवधारणाओं को 10,000 टॉसों पर विस्तार से, मानक विचलन और लंबी श्रृंखलाओं के लिए log₂(N) सूत्र के साथ समझाता है।