Factorielle

La factorielle d'un nombre entier n, notée n!, est le produit de tous les entiers consécutifs allant de 1 jusqu'à n. C'est une opération qui transforme un seul nombre en un résultat souvent très grand, parce que chaque facteur supplémentaire vient multiplier tout ce qui précède.

L'intuition la plus parlante est celle du comptage des ordres. Lorsqu'on dispose n objets en ligne, il y a n possibilités pour la première place, puis n moins un pour la deuxième puisqu'un objet est déjà posé, puis n moins deux pour la suivante, et ainsi de suite. En multipliant ces choix décroissants, on retrouve exactement la factorielle. Elle répond donc à la question : de combien de façons peut-on ordonner n éléments distincts ?

Le calcul se fait en mots très simplement : on multiplie 1 par 2, puis par 3, et ainsi de suite jusqu'à n. Ainsi 4! vaut 1 fois 2 fois 3 fois 4, soit 24. De même, 5! vaut 120 et 3! vaut 6. Par convention, on pose aussi que 0! égale 1, car il existe une seule manière de ne rien ordonner, à savoir l'arrangement vide. Cette convention n'est pas un caprice : elle rend cohérentes les formules de dénombrement.

La factorielle est l'ingrédient de base derrière les autres notions de comptage. Le nombre de permutations d'un ensemble est directement une factorielle. Les arrangements et les combinaisons s'expriment, eux, comme des rapports faisant intervenir plusieurs factorielles, l'idée étant de retirer ou non l'information d'ordre selon le cas. La distinction tient à ce qu'on divise : pour une combinaison, on divise notamment par la factorielle des éléments choisis afin d'oublier leur ordre.

Sur un site de tirage au sort, la factorielle se cache derrière chaque mélange. Brasser une liste de noms avant un tirage, déterminer un ordre de passage ou battre un paquet de cartes revient à choisir une disposition parmi un nombre de possibilités égal à une factorielle. Mélanger 5 cartes offre déjà 120 ordres distincts, ce qui illustre pourquoi un simple brassage suffit à rendre un résultat imprévisible.