Combinaison

Une combinaison est une façon de choisir un certain nombre d'éléments à l'intérieur d'un ensemble sans se préoccuper de l'ordre dans lequel on les retient. Seul importe le groupe final obtenu : deux sélections qui contiennent exactement les mêmes éléments, même piochés dans un ordre différent, comptent pour une seule et même combinaison.

L'intuition est simple : dès que réarranger les éléments choisis ne crée pas une nouvelle possibilité, on est devant une combinaison. Les groupes {1, 2, 3}, {3, 2, 1} et {2, 1, 3} sont identiques, car ils rassemblent les mêmes trois nombres. C'est ce qui distingue la combinaison d'un arrangement, où chaque ordre formerait au contraire un cas distinct.

Pour compter les combinaisons, on choisit k éléments parmi n. L'idée du calcul consiste à dénombrer d'abord toutes les sélections ordonnées, puis à diviser par le nombre d'ordres possibles des k éléments retenus, c'est-à-dire par la factorielle de k, puisque ces ordres ne doivent pas être comptés séparément. Avec un petit exemple : choisir 2 personnes parmi 4 donne 6 combinaisons, soit les paires AB, AC, AD, BC, BD et CD. La paire AB est la même que BA, ce qui explique qu'on n'obtienne pas davantage de possibilités.

Il est utile de garder en tête la distinction entre les trois notions voisines. La permutation ordonne la totalité d'un ensemble et tient compte de l'ordre. L'arrangement choisit une partie des éléments en tenant compte de l'ordre. La combinaison, elle, choisit une partie des éléments sans tenir compte de l'ordre. Passer d'un arrangement à une combinaison revient justement à effacer l'information d'ordre.

Les combinaisons sont au cœur des jeux où l'on coche des numéros sans se soucier de leur ordre, comme le loto. Calculer le nombre total de grilles possibles donne directement le dénominateur servant à estimer une probabilité de gain. Sur un site de tirage au sort, ce raisonnement éclaire aussi les situations où l'on sélectionne un groupe de gagnants sans hiérarchie entre eux : ce qui compte, c'est la liste des élus, pas l'ordre dans lequel le hasard les a désignés.