Permutation

Une permutation est une façon d'ordonner la totalité des éléments d'un ensemble. Autrement dit, on prend tous les éléments disponibles et on décide dans quel ordre les disposer. Chaque disposition différente constitue une permutation distincte, car ici l'ordre fait toute la différence.

L'intuition tient en une phrase : si déplacer un élément change le résultat, on est bien devant des permutations. Les suites {1, 2, 3} et {3, 2, 1} contiennent les mêmes nombres, mais comme leur ordre diffère, elles comptent pour deux permutations séparées. C'est l'opposé d'une combinaison, où l'ordre serait ignoré et où ces deux suites n'en formeraient qu'une.

Pour compter les permutations de n éléments, on raisonne par étapes successives. Il y a n choix pour la première position, puis n moins un choix pour la deuxième puisqu'un élément est déjà placé, puis n moins deux pour la troisième, et ainsi de suite jusqu'à épuisement. Multiplier ces choix revient à calculer la factorielle de n, notée n!. Par exemple, ordonner 3 joueurs donne 3! égale 6 ordres possibles, et mélanger 4 jetons donne 4! égale 24 dispositions différentes.

Il faut distinguer trois notions voisines. La permutation ordonne tous les éléments de l'ensemble. L'arrangement n'en choisit qu'une partie, mais en tenant toujours compte de l'ordre. La combinaison choisit également une partie des éléments, mais cette fois sans tenir compte de l'ordre. La permutation est donc le cas particulier où l'on dispose l'ensemble complet.

Les permutations servent à compter les ordres possibles, ce qui colle directement à plusieurs outils de tirage au sort. Déterminer l'ordre de passage d'une liste de participants, fixer un ordre de jeu, ou mélanger aléatoirement une liste avant de l'afficher reviennent tous à choisir une permutation parmi toutes celles que la factorielle permet de dénombrer. Comprendre ce dénombrement aide à mesurer à quel point un mélange peut produire un grand nombre de résultats également plausibles.