Arrangement

Un arrangement est une façon de choisir une partie des éléments d'un ensemble en tenant compte de l'ordre dans lequel on les retient. On sélectionne donc un sous-groupe, mais contrairement à une combinaison, la position de chaque élément choisi a de l'importance. Deux sélections formées des mêmes éléments mais disposés différemment comptent comme deux arrangements distincts.

L'intuition consiste à se placer entre deux cas connus. La permutation ordonne la totalité de l'ensemble, sans rien laisser de côté. La combinaison choisit une partie des éléments en ignorant l'ordre. L'arrangement reprend l'idée de choisir une partie seulement, mais y ajoute la prise en compte de l'ordre, comme une permutation appliquée au sous-groupe retenu.

Pour compter les arrangements de k éléments parmi n, on raisonne par positions successives. Il y a n choix pour la première place, puis n moins un pour la deuxième, et ainsi de suite, jusqu'à avoir rempli k positions. On multiplie donc k facteurs décroissants en partant de n. Par exemple, choisir un premier et un deuxième parmi 4 personnes donne 4 fois 3, soit 12 arrangements possibles. On obtient bien davantage que les 6 combinaisons correspondantes, justement parce qu'ici l'ordre sépare des cas que la combinaison aurait regroupés.

La relation avec les autres notions est nette. Si l'on choisit autant d'éléments qu'il y en a dans l'ensemble, l'arrangement redevient une permutation et se compte par une factorielle. Si l'on décide d'oublier l'ordre, on divise par la factorielle du nombre d'éléments choisis et l'arrangement devient une combinaison. L'arrangement est donc le pont naturel entre ces deux idées.

Cet outil sert à compter, par exemple, les podiums possibles d'une compétition, où désigner un premier, un deuxième et un troisième rang n'a rien d'équivalent à choisir un simple trio. Sur un site de tirage au sort, l'arrangement décrit toute situation où le hasard attribue des places ordonnées : tirer successivement un grand gagnant, puis un finaliste, puis un suppléant relève d'un arrangement, car l'ordre du tirage détermine un rôle différent pour chaque élu.