Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une grandeur numérique dont la valeur n'est pas fixée d'avance, mais dépend du résultat d'une expérience soumise au hasard. Formellement, elle associe un nombre à chaque issue possible de l'expérience : à chaque résultat du tirage correspond une valeur chiffrée bien définie.

L'image mentale la plus simple est celle d'une étiquette numérique collée sur chaque issue. Avant le tirage, on ignore quelle étiquette sortira ; après, on lit un nombre précis. La variable aléatoire est donc le pont entre un phénomène incertain et le monde des chiffres, sur lequel reposent ensuite tous les calculs.

Pour décrire une variable aléatoire, on dresse la liste de ses valeurs possibles et on attribue à chacune une probabilité : c'est sa distribution. Prenons le nombre de piles sur trois lancers d'une pièce équilibrée. Les valeurs possibles sont 0, 1, 2 et 3. Sur les huit issues également probables, une seule donne 0 pile et une seule donne 3 piles, tandis que trois issues donnent 1 pile et trois donnent 2 piles. Les probabilités sont donc 1/8, 3/8, 3/8 et 1/8.

Une fois cette distribution connue, on peut résumer la variable par deux nombres clés : l'espérance, qui est la moyenne de ses valeurs pondérée par leurs probabilités, et la variance, qui mesure leur dispersion autour de cette moyenne.

Il ne faut pas confondre la variable aléatoire avec une valeur particulière qu'elle prend. La variable est la règle complète, l'objet abstrait qui couvre tous les cas ; un tirage donné n'en fournit qu'une réalisation, un seul nombre observé.

Sur le site, chaque outil produit une variable aléatoire : le résultat d'un dé virtuel, la somme de deux dés, le rang du nom tiré dans une liste, le nombre affiché par le générateur d'entiers. Les nommer ainsi permet d'en prévoir le comportement moyen et la régularité avant même de lancer le tirage.