Loi binomiale

La loi binomiale décrit le nombre de succès obtenus lorsqu'on répète un même tirage à deux issues, un nombre fixé de fois et de façon indépendante. Chaque répétition n'a que deux résultats, conventionnellement appelés succès et échec, et la probabilité d'un succès reste la même à chaque fois.

L'image mentale est une série de lancers de pièce alignés : on coche chaque pile et, à la fin, on compte le total des coches. Ce total est une grandeur incertaine, comprise entre zéro et le nombre de lancers, dont la loi binomiale donne la probabilité de chaque valeur.

Le calcul combine deux ingrédients. D'abord, on compte de combien de façons k succès peuvent se placer parmi les n essais, ce que fournit le coefficient binomial. Ensuite, chaque scénario précis a pour probabilité le produit des succès et des échecs. Prenons quatre lancers d'une pièce équilibrée et cherchons exactement deux piles : il y a six arrangements possibles des deux piles parmi quatre positions, et chacun des seize cas également probables compte pour 1/16. La probabilité vaut donc 6/16, soit 3/8.

Un piège classique est d'oublier le comptage des arrangements et de ne calculer qu'un seul scénario. Obtenir « pile, pile, face, face » dans cet ordre précis vaut 1/16 ; mais « deux piles » sans ordre imposé regroupe six scénarios, d'où le facteur six.

La condition d'indépendance est essentielle : la loi binomiale suppose que chaque tirage repart à zéro, sans mémoire du précédent. Un tirage de cartes sans remise, où chaque retrait modifie les chances suivantes, ne suit donc pas une loi binomiale.

Sur le site, lancer plusieurs fois la pièce de pile ou face ou répéter un tirage à deux issues fait directement apparaître ce modèle : il permet de prévoir, par exemple, combien de fois sur dix essais on peut raisonnablement s'attendre à voir un côté donné.