Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle est la probabilité d'un événement calculée en tenant compte du fait qu'un autre événement s'est déjà produit. L'information nouvelle restreint l'univers des cas possibles : on ne raisonne plus sur toutes les issues de départ, mais seulement sur celles qui restent compatibles avec ce que l'on sait.

L'image mentale est celle d'un projecteur qui rétrécit le champ. Avant l'information, on regarde tout le tableau des possibles ; l'information éteint les zones désormais exclues, et on recalcule les proportions à l'intérieur de la zone encore éclairée.

Le calcul rapporte les cas favorables qui survivent à l'information au nombre de cas qui restent possibles. Dans un jeu de 52 cartes, 26 sont rouges et 13 sont des cœurs. Tirée au hasard, une carte a une chance sur quatre, soit 13/52, d'être un cœur. Mais si l'on sait qu'elle est rouge, l'univers se réduit aux 26 cartes rouges, parmi lesquelles 13 sont des cœurs : la probabilité passe à 13/26, soit une chance sur deux.

Il ne faut pas confondre « probabilité de A sachant B » et « probabilité de B sachant A », qui sont en général différentes. La probabilité qu'une carte soit rouge sachant qu'elle est un cœur vaut 1, puisque tous les cœurs sont rouges, alors que l'inverse ne vaut que 1/2. Confondre les deux est une erreur de raisonnement fréquente.

Quand l'information ne change rien à la probabilité, les deux événements sont dits indépendants. Le théorème de Bayes, de son côté, formalise la façon de retourner le conditionnement pour mettre à jour une probabilité à la lumière d'un indice observé.

Ce concept éclaire les tirages sans remise du site : retirer un nom déjà tiré modifie les chances des suivants, car chaque retrait conditionne l'état du chapeau pour le tour d'après.